Calculadora de Ecuaciones de Recta y Plano en 3D

Ecuaciones de Recta en 3D

Una recta en el espacio 3D puede definirse de varias maneras:

Forma Vectorial

r = r₀ + t·v

Donde:

• r es el vector posición de cualquier punto en la recta
• r₀ es el vector posición de un punto conocido en la recta
• v es el vector dirección de la recta
• t es un parámetro escalar

Forma Paramétrica

x = x₀ + t·a

y = y₀ + t·b

z = z₀ + t·c

Donde (x₀, y₀, z₀) es un punto en la recta y (a, b, c) es el vector dirección.

Ecuaciones de Plano en 3D

Un plano en el espacio 3D puede definirse de varias maneras:

Forma Estándar

Ax + By + Cz + D = 0

Donde (A, B, C) es el vector normal al plano.

Desde Tres Puntos

Dados tres puntos no colineales P, Q, R:

1. Encuentra dos vectores en el plano: PQ y PR
2. Calcula el producto vectorial PQ × PR para obtener el vector normal
3. Usa un punto y el vector normal para formar la ecuación del plano

Desde Punto y Vector Normal

Dado un punto (x₀, y₀, z₀) y vector normal (A, B, C):

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

Cálculos de Intersección

Intersección Recta-Plano

Para encontrar la intersección de una recta y un plano:

1. Expresa la recta en forma paramétrica
2. Sustituye las ecuaciones paramétricas en la ecuación del plano
3. Resuelve para el parámetro t
4. Sustituye t de nuevo en las ecuaciones de la recta para encontrar el punto de intersección

Relación Recta-Recta

Dos rectas en el espacio 3D pueden ser:

• Intersecantes: Se encuentran en exactamente un punto
• Paralelas: Tienen el mismo vector dirección pero nunca se encuentran
• Alabeadas: No son paralelas y no se intersecan

Intersección Plano-Plano

Dos planos pueden:

• Intersecarse a lo largo de una recta (si sus vectores normales no son paralelos)
• Ser paralelos (si sus vectores normales son paralelos)
• Coincidir (si son el mismo plano)